Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)x=﹣1時(shí)，有極大值f（﹣1）=2；當(dāng)x=1時(shí)，有極小值f（1）=﹣2（II）（﹣2，2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)f（x）的極大值和極小值求出k的范圍即可．

試題解析：

（I）∵，∴，

令，解得或，列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

當(dāng)x=﹣1時(shí)，有極大值f（﹣1）=2；

當(dāng)x=1時(shí)，有極小值f（1）=﹣2．

（II）要有3個(gè)實(shí)根，

由（I）知： ，

即，

∴k的取值范圍是（﹣2，2）．