Question

已知（

x

-

2

x

）ⁿ展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162，求：
（1）n的值；
（2）展開式中含x³的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)T₃和 T₂的表達(dá)式，第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162，可得 4

C

2 n

=-2

C

1 n

+162，由此求得n的值．
（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得展開式中含x³的項(xiàng)．

解答： 解：（1）∵T₃=

C

2 n

•4x

n-6

2

，T₂=

C

1 n

•（-2）•x

n-3

2

，由題意可得 4

C

2 n

=-2

C

1 n

+162，
解得n²=81，∴n=9．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)含x³的項(xiàng)，由于T_r+1=

C

r 9

•（-2）^r•x

9-3r

2

，
令

9-3r

2

=3，求得r=1，∴第二項(xiàng)為含x³的項(xiàng)：T₂=

C

1 9

•（-2）•x³=-18x³．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．