【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為4的菱形,∠BAD=60°,對角線AC與BD相交于點O,四邊形ACFE為梯形,EF//AC,點E在平面ABCD上的射影為OA的中點,AE與平面ABCD所成角為45°.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取AO中點H,連結(jié)EH,則EH⊥BD,又AC⊥BD,由此可證;
(Ⅱ)以H為原點,HA為x軸,在平面ABCD中過H作AC的垂線為y軸,HE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由(Ⅰ)知,∠EAH為AE與平面ABCD所成的角,再根據(jù)平面的法向量的夾角即可求出答案.
(Ⅰ)證:取AO中點H,連結(jié)EH,則EH⊥平面ABCD,
∵BD在平面ABCD內(nèi),∴EH⊥BD,
又菱形ABCD中,AC⊥BD,且EH∩AC=H,
EH,AC在平面EACF內(nèi),
∴BD⊥平面EACF,
∴BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,
∴以H為原點,HA為x軸,在平面ABCD中過H作AC的垂線為y軸,HE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵EH⊥平面ABCD,∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角,即∠EAH=45°,
∵AB=4,∴AO=2,AH,EH,
∴H(0,0,0),A(,0,0),D(,﹣2,0),O(,0,0),E(0,0,),
平面ABCD的法向量(0,0,1),
(﹣2,0,0),(),
∵EFAC,∴(﹣2λ,0,0),
設(shè)平面DEF的法向量(x,y,z),
則,取y,得(0,,﹣2),
∴,
∴平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值為.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點的連線相互垂直.
(1)求橢圓的方程;
(2)若圓上存在兩點,,橢圓上存在兩個點滿足:三點共線,三點共線,且,求四邊形面積的取值范圍.
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【題目】如圖,正三棱柱柱中底面邊長為2,高為3,DE分別在與上,且.
(1)AE上是否存在一點P,使得面?若不存在,說明理由;若存在,指出P的位置;
(2)求點到截面ADE的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓.
(1)若橢圓的離心率為,求的值;
(2)若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點,在軸上是否存在點,使得, 若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知,函數(shù)
(1)若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為______________;
(2)若對于任意實數(shù),方程有且只有一個實數(shù)根,且,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點,則的取值范圍為______________.
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【題目】學(xué)生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范,具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確,無明顯推理錯誤,但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等,記此類解答為“類解答”為評估此類解答導(dǎo)致的失分情況,某市教研室做了項試驗:從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機抽取若干屬于“類解答”的題目,掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評閱,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),滿分12分的題,閱卷老師所評分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例大約如下表:
教師評分(滿分12分) | 11 | 10 | 9 |
各分?jǐn)?shù)所占比例 |
某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩名老師獨立評分,稱為一評和二評,當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值小于等于1分時,取兩者平均分為該題得分;當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值大于1分時,再由第三位老師評分,稱之為仲裁,取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分;當(dāng)一、二評分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對值相同時,取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示,比例視為概率,且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).
(1)本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”,求甲同學(xué)此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)本次數(shù)學(xué)考試有6個解答題,每題滿分12分,同學(xué)乙6個題的解答均為“類解答”.
①記乙同學(xué)6個題得分為的題目個數(shù)為計算事件的概率.
②同學(xué)丙的前四題均為滿分,第5題為“類解答”,第6題得8分.以乙、丙兩位同學(xué)解答題總分均值為依據(jù),談?wù)勀銓Α?/span>類解答”的認(rèn)識.
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【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”.現(xiàn)統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次,用表示活動推出的天數(shù),表示每天使用掃碼支付的人次,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程適合用來表示,求出該回歸方程,并預(yù)測活動推出第天使用掃碼支付的人次;
(2)推廣期結(jié)束后,商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
支付方式 | 現(xiàn)金 | 會員卡 | 掃碼 |
比例 |
商場規(guī)定:使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠,使用會員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠,掃碼支付的顧客隨機優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知,使用掃碼支付的顧客,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為.現(xiàn)有一名顧客購買了元的商品,根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率,估計該顧客支付的平均費用是多少?
參考數(shù)據(jù):設(shè),,,
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線過點,傾斜角為.以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程.
(1)寫出直線的參數(shù)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與相交于,兩點,為線段的中點,且,求.
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