【題目】已知函數(shù),.

(1)若函數(shù)處取得極值,求的值,并求函數(shù)處的切線方程;

(2)若上恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析;(2).

【解析】試題分析:

(1)由函數(shù)的解析式可得:,據(jù)此利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線可得切線方程為;

(2)原問題等價于:在區(qū)間上恒成立.

解法一(將絕對值看成一個函數(shù)的整體進(jìn)行研究):

構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時不合題意,當(dāng)時,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,據(jù)此可得:.

解法二(求命題的否定所對應(yīng)的集合,再求該集合的補(bǔ)集):

考查原命題的否定:在區(qū)間上有解.化簡可得,其中函數(shù)在區(qū)間上無最小值,函數(shù)的最大值為,據(jù)此可得.

試題解析:

(1)的定義域是,=,

.

當(dāng)時,=,=

函數(shù)處的切線方程為y=0.

(2)由上恒成立,

上恒成立.

解法一(將絕對值看成一個函數(shù)的整體進(jìn)行研究):

,

①當(dāng)時,上單調(diào)遞減,,,

所以的值域?yàn)椋?/span>,

因?yàn)?/span>,所以的值域?yàn)?/span>;所以不成立.

②當(dāng)時,易知恒成立.

,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>,所以,所以,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以,

依題意,,所以

綜上:.

解法二(求命題的否定所對應(yīng)的集合,再求該集合的補(bǔ)集):

命題都成立的否定是上有解”.

上有解上有解,

上有解,

,.

,

所以上單調(diào)遞增,

,所以無最小值.所以;

,,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

所以,所以.

因?yàn)?/span>上有解時,;

所以都成立時,.

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