【題目】為參與某次救援，潛水員需潛至水下30米處進(jìn)行作業(yè).在下潛與返回水面的過(guò)程中保持勻速，速度均為米/分鐘（，為常數(shù)），下潛過(guò)程中每分鐘耗氧量與速度的平方成正比，當(dāng)速度為1米/分鐘時(shí)，每分鐘耗氧量為0.2升；在水下30米作業(yè)時(shí)，每分鐘耗氧量為0.4升：返回水面的過(guò)程中每分鐘耗氧量為0.2升假定氧氣瓶中氧氣為20升，潛水員下潛時(shí)開(kāi)始使用氧氣瓶中的氧氣，返回到水面時(shí)氧氣瓶中氧氣恰好用盡.

（1）試求潛水員在水下30米作業(yè)的時(shí)間（單位：分鐘）與速度的函數(shù)解析式；

（2）試求潛水員在水下30米能作業(yè)的最長(zhǎng)時(shí)間.

【答案】（1）；（2）分類討論，詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）下潛過(guò)程中每分鐘耗氧量與速度的平方成正比，則下潛每分鐘耗氧量為，上升和下潛的時(shí)間為，即可求出，整理即可，

（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式，需要分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求出.

解：（1）下潛過(guò)程中每分鐘耗氧量與速度的平方成正比，則下潛每分鐘耗氧量為，上升和下潛的時(shí)間為，則，

整理可得，（為常數(shù)）

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上為減函數(shù)，

∴，

故當(dāng)潛水員在水下30米能作業(yè)的最長(zhǎng)時(shí)間為20分鐘，

當(dāng)時(shí)，潛水員在水下30米能作業(yè)的最長(zhǎng)時(shí)間為分鐘

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知,命題:對(duì),不等式恒成立;命題,使得成立.

(1)若為真命題,求的取值范圍;

(2)當(dāng)時(shí),若假,為真,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是

A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（，）

C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg

D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；

（2）若f（x）在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)（注：當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小劉同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后自主擇業(yè)，回到農(nóng)村老家發(fā)展蜜桔收購(gòu)，然后賣出去，幫助村民致富.小劉打算利用“互聯(lián)網(wǎng)+”的模式進(jìn)行銷售.為了更好地銷售，假設(shè)該村每顆蜜柚樹(shù)結(jié)果50個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)選了兩棵樹(shù)的蜜柚摘下來(lái)進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)（單位：千克）的個(gè)數(shù)：，10；，10；，15；，40；，20；，5.

（1）作出其頻率分布直方圖并求其眾數(shù)；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村蜜袖樹(shù)上大約還有100顆樹(shù)的蜜柚待出售，小劉提出兩種收購(gòu)方案：

A.所有蜜柚均以16元/千克收購(gòu)；

B.低于2.25千克的蜜柚以22元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于2.25千克的以30元/個(gè)收購(gòu).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點(diǎn)，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．

（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書(shū)甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒(méi)有影響.

（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰(shuí)獲得合格證書(shū)的可能性最大？

（2）這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書(shū)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所支出的維修費(fèi)（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：

若由資料知，對(duì)呈線性相關(guān)關(guān)系．

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用約是多少？（精確到兩位小數(shù)）；

（3）計(jì)算第2年和第6年的殘差.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；.

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