【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=2an﹣n.
(Ⅰ)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn= + ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

【答案】解:(Ⅰ)證明:令n=1,得a1=2a1﹣1,由此得a1=1. 由于Sn=2an﹣n,則Sn+1=2an+1﹣(n+1),
兩式相減得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣(n+1)﹣2an+n,
即an+1=2an+1.
∴an+1+1=2an+1+1=2(an+1),即 =2,
故數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,其首項為a1+1=2,
故數(shù)列{an+1}的通項公式是an+1=22n1=2n ,
故數(shù)列{an}的通項公式是an=2n﹣1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn= + = = ,
= =
所以Tn=b1+b2+…+bn=( )+( )+…+( ,),
= + +…+ ,
=1﹣
數(shù)列{bn}的前n項和Tn=1﹣
【解析】(Ⅰ)利用數(shù)列遞推式,結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可到結(jié)論;(Ⅱ)由(Ⅰ)bn= + = = ,利用“裂項法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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D.(0, ]

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