【題目】已知橢圓的離心率,兩焦點分別為,右頂點為, .
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點的直線與雙曲線的左支有兩個交點,與橢圓交于兩點,與圓交于兩點,若的面積為, ,求正數(shù)的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知,可得,又∵,即可得解.
(Ⅱ)由可得, 結(jié)合直線與雙曲線的左支有兩個交點,∴必有. ∴.可得.
試題解析:(Ⅰ)由已知,不妨設(shè), ,
∴,即,
又∵, ∴,∴橢圓的標準方程為.
(Ⅱ)依題設(shè),如圖,直線的斜率存在,設(shè), ,
由得,
即,
,
∴,
點到直線的距離為,
∴,
整理得,解得或,
又由直線與圓相交,有,解得,
依題設(shè),直線與雙曲線的左支有兩個交點,∴必有. ∴.
此時, ,
∴正數(shù).
點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長;涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算;涉及過焦點的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,已知點,曲線的參數(shù)方程為.以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(Ⅰ)判斷點與直線的位置關(guān)系并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線的兩個交點分別為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x.
(1)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖像,如圖所示,請補出完整函數(shù)f(x)的圖像,并根據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的增區(qū)間;
(2)寫出函數(shù)f(x)的解析式和值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log (x2﹣ax+b). (Ⅰ)若函數(shù)f(x)的定義域為(﹣∞,2)∪(3,+∞),求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若f(﹣2)=﹣3且f(x)在(﹣∞,﹣1]上為增函數(shù),求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+2ax+b , 且f(1)= 、f(2)= .
(1)求a、b的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)先判斷并證明函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性,然后求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若過點恰有兩條直線與曲線相切,求的值;
(Ⅱ)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若恰有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中, ,點分別在邊上,且, 交于點.現(xiàn)將沿折起,使得平面平面,得到圖2.
(Ⅰ)在圖2中,求證: ;
(Ⅱ)若點是線段上的一動點,問點在什么位置時,二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四組函數(shù),兩個函數(shù)相同的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=log33x , g(x)=
C.f(x)=( )2 , g(x)=|x|
D.f(x)=x,g(x)=x0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】人耳的聽力情況可以用電子測聽器檢測,正常人聽力的等級為0-25(分貝),并規(guī)定測試值在區(qū)間為非常優(yōu)秀,測試值在區(qū)間為優(yōu)秀.某班50名同學(xué)都進行了聽力測試,所得測試值制成頻率分布直方圖:
(Ⅰ)現(xiàn)從聽力等級為的同學(xué)中任意抽取出4人,記聽力非常優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任選一人參加一個更高級別的聽力測試,測試規(guī)則如下:四個音叉的發(fā)生情況不同,由強到弱的次序分別為1,2,3,4.測試前將音叉隨機排列,被測試的同學(xué)依次聽完后給四個音叉按發(fā)音的強弱標出一組序號, , , (其中, , , 為1,2,3,4的一個排列).若為兩次排序偏離程度的一種描述, ,求的概率.
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