Question

對正整數(shù)n，設曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（　　）

• A、（n+1）×2ⁿ⁺¹
• B、（n+1）×2ⁿ
• C、n×2ⁿ
• D、n×2ⁿ⁺¹

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,導數(shù)的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），從而得到a_n=（n+1）2ⁿ，利用錯位相減法能求出S_n．

解答：解：∵y=xⁿ（1-x），∴y'=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
∴曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n2^n-1-（n+1）2ⁿ
切點為（2，-2ⁿ），
∴切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
故選：D．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意導數(shù)的幾何意義的應用，注意錯位相減法的合理運用．