【題目】在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,底面,四棱錐的體積,是的中點.
(1)求異面直線與所成角的大;
(2)求點到平面的距離.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)連接、交于點,連接,利用中位線的性質(zhì)得出,可得出異面直線與所成角為或其補角,先由錐體的體積公式計算出,并證明出,然后利用銳角三角函數(shù)求出,由此可得出異面直線與所成角的大;
(2)過點在平面內(nèi)作,證明平面,并證明出平面,由此可得出點到平面的距離等于,然后利用等面積法計算出即可.
(1)連接、交于點,連接,則為的中點,
底面,且底面是邊長為的正方形,底面積為,
則,解得.
、分別為、的中點,,
所以,異面直線與所成角為或其補角,
四邊形是正方形,則,
又底面,平面,,
,平面,
平面,,即,
又,,
在中,,,
因此,異面直線與所成角的大小為;
(2)過點在平面內(nèi)作,
底面,平面,,
四邊形是正方形,則,,平面,
平面,,又,,平面,
,平面,平面,平面,
所以,點到平面的距離等于,
在中,,,由勾股定理得,
由等面積法得.
因此,點到平面的距離為.
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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且,當(dāng)時,,則在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程解得個數(shù)為( )
A. B. C. D.
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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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【題目】已知函數(shù),,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:函數(shù)只有一個零點;
(2)若函數(shù)存在兩個不同的極值點,,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的范圍;
(2)若對任意,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,設(shè),對任意給定的正實數(shù),曲線上是否存在兩點,,使得是以(為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,而且此三角形斜邊中點在軸上?請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng),函數(shù)圖象上是否存在3條互相平行的切線,并說明理由?
(Ⅱ)討論函數(shù)的零點個數(shù).
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【題目】設(shè)函數(shù),a為實數(shù),
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
若存在實數(shù)a,使得對任意恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.提示:
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【題目】設(shè)橢圓的右頂點為,上頂點為.已知橢圓的離心率為,.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,且點在第二象限.與延長線交于點,若的面積是面積的3倍,求的值.
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