【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為,.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限.與延長(zhǎng)線交于點(diǎn),若的面積是面積的3倍,求的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(I)根據(jù)離心率和弦長(zhǎng)列方程組,解方程組求得的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用的面積與面積的關(guān)系得到,利用向量結(jié)合平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算,求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系.分別聯(lián)立直線的方程與直線、直線的方程與橢圓的方程,根據(jù)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系列方程,解方程求得的值.
(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為,由已知得∴,,
所以,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,由題意,且
由的面積是面積的3倍,可得,所以
,從而,所以
,即.
易知直線的方程為,由消去,可得
由方程組消去,可得.
由,可得,
整理得,解得,或.
當(dāng)時(shí),,符合題意;
當(dāng)時(shí),,不符合題意,舍去.
所以,的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,底面,四棱錐的體積,是的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的大;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)度為2的線段EF的兩端點(diǎn)E、F分別在兩坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng).
(1)求線段EF的中點(diǎn)G的軌跡C的方程;
(2)設(shè)軌跡C與軸交于兩點(diǎn),P是軌跡C上異于的任意一點(diǎn),直線交直線于M點(diǎn),直線交直線于N點(diǎn),求證:以MN為直徑的圓C總過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別是雙曲線E: 的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn), 到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍,(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)當(dāng)時(shí), 的面積為,求此雙曲線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為別為F1、F2,且過點(diǎn)和.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,點(diǎn)A為橢圓上一位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),AF2的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B,AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C,求△ABC面積的最大值,并寫出取到最大值時(shí)直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)已知函數(shù)區(qū)間上的最小值為1,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:曲線表示雙曲線;:曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.
(1)分別求出條件中的實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)甲同學(xué)認(rèn)為“是的充分條件”,乙同學(xué)認(rèn)為“是的必要條件”,請(qǐng)判斷兩位同學(xué)的說法是否正確,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,是中點(diǎn).
證明:平面;
線段上是否存在點(diǎn),使三棱錐的體積為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.
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