Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上的最大值是，求的值；

（3）記，當時，若對任意式，總有成立，試求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)（2）（3）的最大值為

【解析】

（1）求得的定義域和導函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.

（2）求得的導函數(shù)，對分成，，三種情況，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性和最大值，求得的值.

（3）首先求得的的表達式，利用的導函數(shù)判斷出當時，為減函數(shù)，由此將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，在上為減函數(shù)，由的導函數(shù)分離常數(shù)，得到，結(jié)合基本不等式，求得的最大值.

（1）的定義域是，，

令，則（舍去），

當時，，故在上是增函數(shù)；

當時，，故在上是減函數(shù).

（2）∵，則，

①當時，在上是增函數(shù)，

故在上的最大值為，顯然不合題意：

②若即時，，則在上是增函數(shù)，

故在上的最大值為，不合超意，舍去；

③若即時，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故在在上的最大值為，解得，符合，

綜合①②③得.

（3），則，

當時，，故時，在上是減函數(shù)，

不妨設(shè)，則，

故等價于，

即，記，從而在上為減函數(shù)，

由，得，故恒成立，

∵，又在上單調(diào)遞減

∴，∴，∴.

故時，的最大值為.