Question

已知函數(shù)常數(shù)）滿足.
（1）求出的值，并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最小值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列，使得成立.

Answer 1

（1），時(shí)是偶函數(shù)，時(shí)，非奇非偶函數(shù)；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

試題分析：（1）直接代入已知可求得，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可說(shuō)明函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，如果要說(shuō)明它不是奇（偶）函數(shù)，可舉例說(shuō)明，即或；（2）據(jù)題意，即當(dāng)時(shí)，總有成立，變形整理可得，由于分母，故，即，注意到，，從而，因此有；（3）在（2）的條件下，，理論上講應(yīng)用求出零點(diǎn)，由函數(shù)表達(dá)式可看出，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是遞增函數(shù)，如有零點(diǎn)，只有一個(gè)，解方程，即，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定出，這個(gè)三次方程具體的解求不出，但可變形為，想到無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和，有，因此可取.證畢.
（1）由得，解得.
從而，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051406341658.png" style="vertical-align:middle;" />
當(dāng)時(shí)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意，有，為偶函數(shù)  2分
當(dāng)時(shí)，從而，不是奇函數(shù)；，不是偶函數(shù)，非奇非偶.      4分
（2）對(duì)于任意的，總有恒成立，即，得.    6分
，，，從而.
又，∴，的最小值等于.      10分
（3）在（2）的條件下，.
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn).    12分
當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，恒有，
即，所以函數(shù)在上遞增，又，，
在是有一個(gè)零點(diǎn).
綜上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且        15分
，得，
又，故，
取          18分