(1)原點(diǎn)O及直線為曲線C的焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線;
(2)被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長(zhǎng)恰好為
若存在,求出曲線C的方程,若不存在,說明理由。
解:設(shè)存在符合題設(shè)的圓錐曲線C,此曲線離心率為>0),Px,y)是曲線C上任一點(diǎn)。
由圓錐曲線的定義有
化簡(jiǎn)整理得,               ①
設(shè)曲線C被直線垂直平分,其弦長(zhǎng)為的弦所在直線方程為,這弦的兩個(gè)端點(diǎn)
代入①式中,消去y
                      ②
由題意0,

由此可解得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為

由條件(2),中點(diǎn)D,于是有:

解③,代入④得
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,因此符合條件的曲線C存在,其方程為。
這是一道開放性的題目,探求滿足上述兩個(gè)條件的圓錐曲線是否存在,本題的難點(diǎn)是題目沒有具體的給出圓錐曲線的形狀,由條件(1)給出焦點(diǎn)和相應(yīng)的準(zhǔn)線,因此可考慮用圓錐曲線統(tǒng)一定義,設(shè)離心率為,通過計(jì)算,推理,探求的存在性。
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