如圖,拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),且開口向右,點(diǎn)
A,
B,
C在拋物線上,△
ABC的重心
F為拋物線的焦點(diǎn),直線
AB的方程為
。
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)
M為某定點(diǎn),過點(diǎn)
M的動(dòng)直線
l與拋物線相交于
P,
Q兩點(diǎn),試推斷是否存在定點(diǎn)
M,使得以線段
PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)
M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
(Ⅰ)
y2=16
x(Ⅱ)
(Ⅰ)設(shè)拋物線方程為
,
聯(lián)立
消去
x,得
。 (2分)
設(shè)點(diǎn)
,則
,
所以
。 (4分)
設(shè)點(diǎn)
,因?yàn)椤?i>ABC的重心為
,則
,所以
。 (5分)
因?yàn)辄c(diǎn)
C在拋物線上,則
,解得
p=8,此時(shí)
。
故拋物線方程為
y2=16
x。 (6分)
(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)
M的動(dòng)直線
l的方程為
,代入拋物線方程
y2=16
x,得
,所以
。 (8分)
若以線段
PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則
,即
。
所以
,即
,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823125030844250.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以
。 (10分)
所以直線
l的方程為
,即
,從而直線
l必經(jīng)過定點(diǎn)
。(11分)
若直線
l的斜率不存在,因?yàn)橹本
與拋物線的交點(diǎn)為
,此時(shí)仍有
。故存在定點(diǎn)
滿足條件。 (13分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知定點(diǎn)A(-2,-4),過點(diǎn)A作傾斜角為45 的直線l,交拋物線y2=2px(p>0)于B、C兩點(diǎn),且|BC|=210.(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)在(Ⅰ)中的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得|DB|=|DC|成立?如果存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知兩條直線l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0,有一動(dòng)圓(圓心和半徑都動(dòng))與l1、l2都相交,且l1、l2被圓截得的弦長分別是定值26和24,求圓心的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),
F為拋物線
y2=2
x的焦點(diǎn),點(diǎn)
P在拋物線上移動(dòng),為使|
PA|+|
PF|取最小值,
P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為( )
A.(3,3) | B.(2,2) | C.(,1) | D.(0,0) |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若拋物線
y2=2
Px(
P>0)上三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,那么這三點(diǎn)與焦點(diǎn)
F的距離的關(guān)系是( )
A.成等差數(shù)列 | B.成等比數(shù)列 |
C.既成等差數(shù)列,又成等比數(shù)列 | D.既不成等差數(shù)列,也不成等比數(shù)列 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
自點(diǎn)
發(fā)出的光線
射到
軸上,被
軸反射,其反射光線所在直線與圓
相切,求反射光線所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知雙曲線方程為
,以定點(diǎn)
為中點(diǎn)的弦存在嗎?若存在,求出其所在直線的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為圓
的圓心
.
(1)求此拋物線方程;
(2)如圖,是否存在過圓心
的直線
與拋物線、圓順次交于
且使得
,
成等差數(shù)列,若
存在,求出它的方程;若
不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
的半徑為
的定圓
的兩互相垂直的直徑,作動(dòng)弦
交
于
,引
,且交
于
,求點(diǎn)
的軌跡方程.
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