Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，連結(jié)橢圓上不同兩點A，B滿足AB∥x軸，過點A作AF₂的垂線l₁，過點B作BF₂的垂線l₂．且l₁，l₂的交點為C．
（1）求△ABF₂面積的最大值；
（2）求證：過點A，B，C的圓D的在x軸上截得的弦長為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，y₁），S△ABF2=|x1y1|，由此能求出△ABF₂的面積最大值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出A、F₂、B、C四點共圓，過A、B、C三點的圓D就是過A、F₂、B、C四點的圓，CF₂是這個圓的直徑，由此能證明圓M在x軸上截得的弦長為2（定值）．

解答： （1）解：設(shè)A（x₁，y₁），
則由橢圓的對稱性得B（-x₁，y₁），
∴S△ABF2=|x1y1|，
又∵

x12

4

+

y12

3

=1≥2

|x1y1|

2 3

=

|x1y1|

3

，
∴S△ABF2=|x1y1|≤

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)|x1|=

2

，|y1|=

6

2

時，取等號，
∴△ABF₂的面積最大值為

3

．
（2）證明：∵AF₂⊥AC，BF₂⊥BC，
∴A、F₂、B、C四點共圓，
∴過A、B、C三點的圓D就是過A、F₂、B、C四點的圓，
CF₂是這個圓的直徑，
過C作CE⊥x軸于E，E點在x軸上，F(xiàn)₂在x軸上，
∴EF₂是圓D與x軸相交的弦，
∵A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），F(xiàn)₂（1，0），
∴kAF2=

y1

x1-1

，kl1=-

x1-1

y1

，∴l1：y-y1=-

x1-1

y1

(x-x1)，
kBF2=

y1

-x1-1

，kl2=

x1+1

y1

，l2：y-y1=

x1+1

y1

(x+x1)，
聯(lián)立

y-y1=- x1-1 y1 (x-x1) y-y1= x1+1 y1 (x+x1)

，解得x=-1，∴E（-1，0），
∴EF₂=2（定值），
∴過點A，B，C的圓D的在x軸上截得的弦長為定值2．

點評：本題考查三角形面積最大值的求法，考查圓在x軸上截得的弦長為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意四點共圓的性質(zhì)的靈活運用．