在如圖的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，∥，，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明見解析；（2）．

解析試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，在題中已經(jīng)有，另一條直線應(yīng)該是，在中，由已知易證；（2）求直線與平面所成的角，要找到在平面內(nèi)的射影，這里線面的交點沒給出，垂直關(guān)系也比較難找，但由（1）的證明可得兩兩垂直，因此我們可以以他們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角坐標系，用空間向量來求線面角，只要求出平面的一個法向量，那么向量與的夾角的余弦值等于直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：因為，
在△中，由余弦定理可得．所以．所以．
因為，，、平面，所以平面．  -4分
（2）由（1）知，平面，平面，所以．
因為平面為正方形，所以．
因為，所以平面．
所以，，兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標系．

因為是等腰梯形，且，
所以．
不妨設(shè)，則，，，
，，





考點：（1）線面垂直；（2）直線與平面所成的角．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為.點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面.
證明：
若，求四邊形的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是邊長為2的正方形，平面，，,且.
（1）求證：平面;
（2）求證：平面平面;
（3）求多面體的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，ABAD，AD=2，AB=BC=l，E為AD中點．
（1）求證：PE平面ABCD：
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值：
（3）求平面PAB與平面PCD所成的二面角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分別為BB1、
A1C1的中點.
（1）求證：CB1⊥平面ABC1；
（2）求證：MN//平面ABC1.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點,D為PB中點,且△PMB為正三角形.

(1)求證DM∥平面APC;
(2)求證平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，,G是上的動點。
(l)求證：平面ADG；
(2)判斷與平面ADG的位置關(guān)系，并給出證明；
(3)若G是的中點，求二面角G-AD-C的大小；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱中， ，，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；
（2）求直線和平面所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，
且.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）若是的中點，求三棱錐的體積.

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