Question

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f_n（x）=xⁿ，n∈N^*．
（1）記函數(shù)F（x）=bf₁（x）-lnf₃（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值為6，求實數(shù)b的值；
（2）對于（1）中的b，設(shè)函數(shù)g（x）=（

b

3

）^x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）圖象上兩點，若g'（x₀）=

y2-y1

x2-x1

，試證明x₀＜x₂．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知可求得：F′（x）=b-

3

x

，x∈（0，e]，討論：①若b≤

3

e

，則F′（x）=b-

3

x

≤0，可得F（x）_min=F（e）=be-3，由F（e）=6得b=

9

e

（舍去）．②若b＞

3

e

，F(xiàn)′（x）=

b

x

(x-

3

b

)，令F′（x）=0得x=

3

b

，F(xiàn)（x）_min=F（

3

b

）=3-3ln

3

b

，由f（

3

b

）=6得b=3c．
（2）由g（x）=e^x轉(zhuǎn)化為證明e x2-e x2（x₂-x₁）-e x1＜0．設(shè)φ（x）=e^x-e^x（x-x₁）-e x1，則 φ′（x）=-e^x（x-x₁），可證φ（x₂）＜0，從而得證．

解答： 解：（1）F（x）=bx-3lnx，F(xiàn)′（x）=b-

3

x

，x∈（0，e]，…1分
①若b≤

3

e

，則F′（x）=b-

3

x

≤0，F(xiàn)（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（X）_min=F（e）=be-3，
由F（e）=6得b=

9

e

（舍去）…3分
②若b＞

3

e

，F(xiàn)′（x）=

b

x

(x-

3

b

)，令F′（x）=0得x=

3

b

，
當(dāng)x∈（0，

3

b

）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，

3

b

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（

3

b

，e）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（

3

b

，e）上單調(diào)遞增；
F（x）_min=F（

3

b

）=3-3ln

3

b

，由f（

3

b

）=6得b=3c…6分
綜上所述，b=3e…7分
（2）g（x）=e^x，故只需證

ex2-ex1

x2-x1

＜ex2…9分
即證：e x2-e x2（x₂-x₁）-e x1＜0…10分
設(shè)φ（x）=e^x-e^x（x-x₁）-e x1，則 φ′（x）=-e^x（x-x₁），當(dāng)x≥x₁時，φ′（x）≤0，
∴φ（x）在[x₁，+∞）上是減函數(shù)…12分
∴x₁＜x₂
∴φ（x₁）＞φ（x₂），而φ（x₁）=0，
即有e x2-e x2（x₂-x₁）-e x1＜0，得證…14分

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．