Question

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）若，且在內(nèi)有且只有一個零點，求的值；

（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數(shù)使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負分布求解函數(shù)單調(diào)性,再根據(jù)在內(nèi)有且只有一個零點，求得的值；

（2）若有三個不同零點，且成等差數(shù)列，可設(shè)利用待定系數(shù)法求解參數(shù)的取值.

（1）若，則，.

若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增,則，

故在無零點；

若，令，得，.

在上，，單調(diào)遞減，

在上，，單調(diào)遞增.

又在內(nèi)有且只有一個零點，則，

得，得,得.

（2）因為，則，若有三個不同零點，且成等差數(shù)列，

可設(shè)

,

故，則，故，，.此時，，，故存在三個不同的零點，故符合題意的的值為.