Question

已知函數(shù)y=cos²x+

3

sinxcosx+1，x∈R．
（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最大值時，x的值的集合和函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）y=cos²x+

3

sinxcosx+1=

cos2x+1

2

+

3

2

sin2x+1=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∴當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

時，即x=kπ+

π

6

時，k∈Z，函數(shù)有最大值，
∴此時x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）當2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

時，函數(shù)單調(diào)增，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．在求得三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值、x的集合等問題時，注意整體思想運用．