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如圖所示,某人想制造一個支架,它由四根金屬桿構成,其底端三點均勻地固定在半徑為的圓上(圓在地面上),三點相異且共線,與地面垂直. 現要求點到地面的距離恰為,記用料總長為,設

(1)試將表示為的函數,并注明定義域;
(2)當的正弦值是多少時,用料最省?
(1);(2)

試題分析:(1)由已知三點相異且共線,與地面垂直,且三點均勻地固定在半徑為的圓上,所以是全等的直角三角形,從而有,進而可得,再由點到地面的距離恰為;從而由可將L表示為的函數;其定義域由圖形可知:,而當PH最短時角為最大,但由于三點相異,所以小于該最大值,從而求得其定義域;(2)用料最省,即L取得最小值;由(1)的函數利用導數方法來求使其取得最小值的的值:先求出L的導函數,再令其等于零求出對應的的值,再討論函數的單調性就可確定的值.
試題解析:(1)因與地面垂直,且,則是全等的直角三角形,又圓的半徑為3,
所以,,                               3分
,所以,                        6分
若點重合,則,即,所以,
從而.                                   7分
(2)由(1)知,
所以,當時,,                             11分
,,當時,;當時,;
所以函數L在上單調遞減,在上單調遞增,                       15分
所以當,即時,L有最小值,此時用料最省.                     16分
練習冊系列答案
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