【題目】已知函數(shù)f(x)=x(e+1)
(I)求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(0,f(0))處的切線方程;
(II)若函數(shù)g(x)=f(x)-ae-x,求函數(shù)g(x)在[1,2]上的最大值。
【答案】(1)y=2x(2)見解析
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)導數(shù)幾何意義求切線斜率,再根據(jù)點斜式得切線方程,(2)先求導數(shù),再求導函數(shù)零點,根據(jù)零點與定義區(qū)間相對位置關(guān)系確定函數(shù)單調(diào)性,最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最大值取法.
試題解析:解:(I)依題意,f(x)=e+1+xe,故f(0)=e+1=2.
因為f(0)=0,故所求切線方程為y=2x;.
(Ⅱ)依題意,g(x)=(x-a+1)·e,令g(x)=0得x=a-1
所以當a-1≤1時,x∈[1,2]時,g(x)≥0恒成立,g(x)單調(diào)遞增,g(x)最大值為g(2),.
當a-1≥2時,x∈[1,2]時,g(x)≤0恒成立,g(x)單調(diào)遞減,g(x)最大值為g(1).
當1<a-1<2時,x∈[1,a-1)時,g(x)≤0,g(x)單調(diào)遞減;
x∈(a-1,2)時,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.
當x∈[1,2]時,g(x)最大值為g(1)或g(2).
g(1)=(1-a)e,g(2)=(2-a)e,
g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e=(e-e)a-(2e-e).
∴當時,g(1)-g(2)≥0,g(x)max=g(1)=(1-a)e.
當a<=時,g(1)-g(2)<0,g(x)max=g(2)=(2-a)e
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【題目】對于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足對任意正整數(shù)總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)證明:等差數(shù)列是“數(shù)列”;
(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,證明: 是等差數(shù)列.
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【題目】(本小題滿分12分)已知在四棱錐中,底面是矩形,且,,平面,,分別是線段,的中點.
(1)判斷并說明上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不
存在,請說明理由;
(2)若與平面所成的角為,求二面角的平面角的余弦值.
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【題目】在直角坐標坐標系中,過點P(1,0)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知頂點在極軸上,開口向右的拋物線C經(jīng)過極坐標為(2, )的點Q.
(1)求C的極坐標方程;
(2)若l與C交于A、B兩點,且|PA|=2|PB|,求tan的值。
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【題目】如圖,矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,,,,,,M為CE的中點,N為CD中點.
求證:平面平面ADEF;
求證:平面平面BDE;
求點D到平面BEC的距離.
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【題目】[選修4一4:坐標系與參數(shù)方程]已知直線l過原點且傾斜角為, ,以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C 的極坐標方程為psin =4cos.
(I)寫出直線l的極坐標方程和曲線C 的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知直線l過原點且與直線l相互垂直,若lC=-M,lC=N,其中M,N不與原點重合,求△OMN 面積的最小值.
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【題目】某集團為了獲得更大的收益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查投入廣告費t(百萬元),可增加銷售額約為-t2+5t(百萬元)(0≤t≤5) (注:收益=銷售額-投放).
(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi),則應投入多少廣告費,才能使該公司由此獲得的收益最大?
(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元,分別用于廣告促銷和技術(shù)改造.經(jīng)預測,每投入技術(shù)改造費x(百萬元),可增加的銷售額約為-x3+x2+3x(百萬元).請設(shè)計一個資金分配方案,使該公司由此獲得的收益最大.
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【題目】一年來,某足球隊的足球運動員每天進行距離球門米遠的射門訓練次,若打進球門算成功,否則算失。S機提取該球員連續(xù)天的成功次數(shù)統(tǒng)計如下:
.
(1)估計該球員一天射門成功次數(shù)的四分位數(shù);
(2)若每天三位球員均進行“三角戰(zhàn)術(shù)”配合訓練,要求三位球員在運動中必須保持如下規(guī)則:三人所在的位置構(gòu)成,,的面積(平方米).求球員之間的距離的最小值(米).
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【題目】現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動,有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排,以下說法正確的是( )
A. 每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為
B. 每項工作至少有一人參加,則不同的方法數(shù)為
C. 如果司機工作不安排,其余三項工作至少安排一人,則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為
D. 每項工作至少有一人參加,甲、乙不會開車但能從事其他三項工作,丙、丁、戊都能勝任四項工作,則不同安排方案的種數(shù)是
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