【題目】某集團(tuán)為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬(wàn)元)(0≤t≤5) (注：收益＝銷售額－投放)．

（1）若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？

（2）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元)，可增加的銷售額約為－x3＋x2＋3x(百萬(wàn)元)．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．

【答案】將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造， 1百萬(wàn)元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．

【解析】試題分析：（1）設(shè)投入 百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為 ，根據(jù)收益為銷售額與投放的差可建立收益模型為： ，再由二次函數(shù)法求得最大值；（2）根據(jù)題意，若用技術(shù)改造的資金為 (百萬(wàn)元)，則用于廣告促銷的資金為 (百萬(wàn)元)，則收益模型為 ，因?yàn)槭歉叽魏瘮?shù)，所以用導(dǎo)數(shù)法研究其最大值.

試題解析：(1)設(shè)投入t(t百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬(wàn)元)，

則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2) 2＋4(0＜t≤3)，

所以當(dāng)t＝2百萬(wàn)元時(shí)，f(t)取得最大值4百萬(wàn)元．

即投入2百萬(wàn)元時(shí)的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．

(2)設(shè)用技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬(wàn)元)，則

則有g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)

所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去)．

又當(dāng)0≤x＜2時(shí)，g′ (x)＞0，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，g′(x)＜0．

故g(x)在[0,2]上是增函數(shù)，在[2,3]上是減函數(shù)．

所以當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)取最大值，

即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造， 1百萬(wàn)元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)元；未售出的產(chǎn)品，每盒虧損元.根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購(gòu)進(jìn)了盒該產(chǎn)品，以（單位：盒， ）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，（單位：元）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn).

（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的中位數(shù)；

（2）將表示為的函數(shù)；

（3）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝a，an＋1＝2an＋ (a，λ∈R)．

(1)若λ＝－2，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a＝2，試寫出an≥2對(duì)任意的n∈N*成立的充要條件，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為.

(1)求出以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過(guò)程)并畫出圖形；

(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5，－)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與圓的另一交點(diǎn)為．

（1）當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程；

（2）求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(1)已知f(x)＝，求f(－)的值

(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－.

①求sinx－cosx的值；②求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某市新體育公園的中心廣場(chǎng)平面圖如圖所示，在y軸左側(cè)的觀光道曲線段是函數(shù)，時(shí)的圖象且最高點(diǎn)B（-1，4），在y軸右側(cè)的曲線段是以CO為直徑的半圓弧．

（1）試確定A，和的值；

（2）現(xiàn)要在右側(cè)的半圓中修建一條步行道CDO（單位：米），在點(diǎn)C與半圓弧上的一點(diǎn)D之間設(shè)計(jì)為直線段（造價(jià)為2萬(wàn)元/米），從D到點(diǎn)O之間設(shè)計(jì)為沿半圓弧的弧形（造價(jià)為1萬(wàn)元/米）．設(shè)（弧度），試用來(lái)表示修建步行道的造價(jià)預(yù)算，并求造價(jià)預(yù)算的最大值？（注：只考慮步行道的長(zhǎng)度，不考慮步行道的寬度）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，∈[1，＋∞).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（3）若對(duì)任意∈[1，＋∞)，＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線l：x+2y=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；

（II）設(shè)函數(shù)F（x）=-x[g（x）+x-2]，若F（x）在區(qū)間（m,m+1）（m∈Z）內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，求m的值；

（III）用max{m，n}表示m，n中的較大者，記函數(shù)h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函數(shù)h（x）在（0，+∞）上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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