Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝

（1）求f（x）＞0的解集；

（2）若x∈R時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（0，+∞）（2）[，+∞）

【解析】

（1）通過(guò)對(duì)f（x）求導(dǎo)，可得x∈R時(shí)，f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，又f（0）＝0，x∈（0，+∞）時(shí)f（x）＞0，不等式得解；

（2）若x∈R時(shí)，恒成立，不等式轉(zhuǎn)化為2eex（x∈R），因?yàn)槎际桥己瘮?shù)，所以只需x∈[0，+∞）時(shí)，2ee2x﹣1≥0成立即可，構(gòu)造新的函數(shù)F（x）＝2ee2x﹣1，求導(dǎo)后再對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>f（x）＝，則f′（x）＝；

所以x∈R時(shí)，f′（x）≥0，

所以f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，又f（0）＝0，

所以x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＜0，

x∈（0，+∞）時(shí)f（x）＞0，

∴f（x）＞0的解集為（0，+∞）.

（2）因?yàn)?/span>x∈R時(shí)，2ee2x+1恒成立，

等價(jià)于恒成立，

即2eex（x∈R），

因?yàn)槎际桥己瘮?shù)，

所以只需x∈[0，+∞）時(shí)，2ee2x﹣1≥0成立即可，

令F（x）＝2ee2x﹣1，F（0）＝0，

F′（x）＝2（2mx+1）e2e2x＝2e2x[（2mx+1）e1]，F′（0）＝0，

令G（x）＝（2mx+1）e1，G（0）＝0，

G′（x）＝2me（2mx+1）（2mx﹣1）e（4m2x2+2m﹣1）e

①當(dāng)2m﹣1≥0，即m時(shí)，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）時(shí)，G（x）≥0，即F′（x）≥0，

所以F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）時(shí)，F（x）≥0，所以m時(shí)滿足要求；

②當(dāng)m＝0，x＝1時(shí)，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；

③當(dāng)2m﹣1＜0且m≠0時(shí)，即m且m≠0時(shí)，x∈上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>G（0）＝0，所以x∈時(shí)，G（x）＜0，即F′（x）＜0，

所以F（x）在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>F（0）＝0，所以x∈時(shí)，F（x）＜0，

所以m且m≠0時(shí)不滿足要求.

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[，+∞）.