【題目】如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，AB=AC=2，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下圖．

（Ⅰ）求證：A1OBD；

（Ⅱ）求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證，再由面面垂直，即可證明線面垂直，再推出線線垂直；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的法向量，即可由向量法求得線面角的正弦值.

（Ⅰ）因為，分別為中點，

故可得，故為等腰三角形，又為中點，

故可得，又因為平面A1DE平面BCED，且交線為，

又平面，故平面，又平面，

故.即證.

（Ⅱ）過作，由（Ⅰ）可知平面，

又平面，故可得，

又因為//，故可得.

綜上所述：兩兩垂直，

故以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

故可得，

則

設(shè)平面的法向量為，

故可得，即，

取，可得.故.

又，

故可得.

設(shè)直線A1C和平面A1BD所成角為，

故可得.

則直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩條拋物線C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M為C上一點（異于原點O），直線OM與E的另一個交點為N．若過M的直線l與E相交于A，B兩點，且△ABN的面積是△ABO面積的3倍，則p＝_____

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（k＋）lnx＋，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為

A. （，＋∞） B. （，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50 kg

箱產(chǎn)量≥50 kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

附：

P（）

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，制表如圖：

每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下：甲公司規(guī)定每件4.5元；乙公司規(guī)定每天35件以內(nèi)（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務(wù)費的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費記為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，是棱的中點，是棱上的動點.設(shè)，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是（ ）

A.增大B.先增大再減小

C.減小D.先減小再增大

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點.

①當(dāng)點為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點為，右焦點為，直線與軸相交于點，且是的中點.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于兩點，都在軸上方，并且在之間，且到直線的距離是到直線距離的倍.

①記的面積分別為，求；

②若原點到直線的距離為，求橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知關(guān)于的方程有三個實根，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案