【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣ax+cosx(a∈R),x∈[﹣ , ].
(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),試求a的值;
(2)當a>0時,求證:函數(shù)f(x)在(0, )上單調(diào)遞減.

【答案】
(1)解:因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),

所以f(﹣x)= ﹣a(﹣x)+cos(﹣x)

= +ax+cosx

=f(x)= ﹣ax+cosx恒成立,

所以a=0;


(2)解:由題意可知 ,

設(shè) ,

;注意到 ,a>0;

由g'(x)<0,即 ,解得 ;

由g'(x)>0,即 ,解得

所以g(x)在 上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增;

所以當 ,g(x)<g(0)=0﹣a<0,

所以f(x)在 單調(diào)遞減,

,

所以f(x)在 單調(diào)遞減,

所以當a>0時,函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞減


【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義,f(﹣x)=f(x)恒成立,求出a的值;(2)利用導(dǎo)數(shù)大于0或小于0,判斷函數(shù)f(x)是單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)即可.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較;在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇才能正確解答此題.

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