Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，設(shè)點(diǎn)B，C是直線l：x-2y=0上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+4（t∈R），點(diǎn)P在線段BC上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，切點(diǎn)為A．
（1）若t=0，MP=

5

，求直線PA的方程；
（2）經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心是D，求線段DO長(zhǎng)的最小值L（t）．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，因?yàn)镻在直線l上，所以設(shè)P的坐標(biāo)為（a，2a），然后由M和P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出MP的長(zhǎng)，根據(jù)MP=

5

列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)P點(diǎn)切線方程的斜率為k，根據(jù)P的坐標(biāo)和斜率k寫(xiě)出切線的方程，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離公式等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心M到切線方程的距離d，讓d等于圓的半徑r，即可得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫(xiě)出直線PA的方程即可；
（2）根據(jù)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑得到AP垂直AM，所以三角形APM為直角三角形，所以外接圓圓心D為斜邊PM的中點(diǎn)，根據(jù)M和設(shè)出的P的坐標(biāo)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出D的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出OD的長(zhǎng)，得到關(guān)于a的函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線，分三種情況：

t

2

大于拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

t

2

小于拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于

t

2

+2，和

t

2

+2小于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的圖象即可求出函數(shù)的最小值．線段DO長(zhǎng)的最小值L（t）為一個(gè)分段函數(shù)，寫(xiě)出此分段函數(shù)的解析式即可．

解答：解：（1）由圓M：x²+（y-2）²=1，得到圓心M（0，2），半徑r=1，
設(shè)P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP=

5

，∴

(2a)2+(a-2)2

=

5

．
解得a=1或a=-

1

5

（舍去）．
∴P（2，1）．由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k．
所以直線PA的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直線PA與圓M相切，
∴

|-2-2k+1|

1+k2

=1，
解得k=0或k=-

4

3

．
∴直線PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）設(shè)f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
∵PA與圓M相切于點(diǎn)A，∴PA⊥MA．
∴經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn)．
∵M(jìn)（0，2），∴D的坐標(biāo)是(a，

a

2

+1)．
設(shè)DO²=f（a）．
∴f(a)=a2+(

a

2

+1)2=

5

4

a2+a+1=

5

4

(a+

2

5

)2+

4

5

．
當(dāng)

t

2

＞-

2

5

，即t＞-

4

5

時(shí)，f(a)min=f(

t

2

)=

5

16

t2+

t

2

+1；
當(dāng)

t

2

≤-

2

5

≤

t

2

+2，即-

24

5

≤t≤-

4

5

時(shí)，f(a)min=f(-

2

5

)=

4

5

；
當(dāng)

t

2

+2＜-

2

5

，即t＜-

24

5

時(shí)，f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
則L(t)=

1 4 5t2+8t+16 ，t＞- 4 5 2 5 5 ，- 24 5 ≤t≤- 4 5 1 4 5t2+48t+128 ，t＜- 24 5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切是所滿足的條件，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用二次函數(shù)求最值的方法解決實(shí)際問(wèn)題，是一道比較難的題．