已知圓M:x2+(y-2)2=1,設(shè)點(diǎn)B,C是直線l:x-2y=0上的兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+4(t∈R),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a且點(diǎn)P在線段BC上,過P點(diǎn)作圓M的切線PA,切點(diǎn)為A
(1)若t=0,MP=
5
,求直線PA的方程;
(2)經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓的圓心是D,
①將DO2表示成a的函數(shù)f(a),并寫出定義域.
②求線段DO長的最小值.
分析:(1)設(shè)P(2a,a),由勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)建立關(guān)于a的方程,解之得a=1,得P(2,1).因此設(shè)直線PA的方程為y-1=k(x-2),利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題意得出
|-2-2k+1|
1+k2
=1
,解之即可得到直線PA的方程;
(2)①由圓的性質(zhì)結(jié)合PA與圓M相切,算出D的坐標(biāo)(a,
a
2
+1)
,再利用兩點(diǎn)的距離公式得到DO2關(guān)于a的二次函數(shù)表達(dá)式,從而得到DO2表示成a的函數(shù)f(a),并給出其定義域;
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),得到f(a)min=f(
t
2
+2)=
15
16
t2+3t+8
,再根據(jù)t<-
24
5
分三種情況加以討論,分別結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求出最小值,最后綜合可得線段DO的最小值關(guān)于a的分段形式的表達(dá)式,得到本題答案.
解答:解:(1)∵點(diǎn)B、C是直線l:x-2y=0上的兩點(diǎn),
∴可設(shè)P(2a,a)(0≤a≤2).
M(0,2),MP=
5
,∴
(2a)2+(a-2)2
=
5

解得a=1或a=-
1
5
(舍去),可得P(2,1).
由題意知切線PA的斜率存在,設(shè)斜率為k.
可得直線PA的方程為y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.
∵直線PA與圓M相切,
|-2-2k+1|
1+k2
=1
,解得k=0或k=-
4
3

因此直線PA的方程是y=1或4x+3y-11=0.
(2)①∵PA與圓M相切于點(diǎn)A,∴PA⊥MA.
∴經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn).
∵M(jìn)(0,2),∴D的坐標(biāo)是(a,
a
2
+1)

可得DO2=f(a)=a2+(
a
2
+1)2=
5
4
a2+a+1=
5
4
(a+
2
5
)2+
4
5
.(a∈[
t
2
,
t+4
2
]

f(a)min=f(
t
2
+2)=
5
4
(
t
2
+2)2+(
t
2
+2)+1=
15
16
t2+3t+8
t<-
24
5

當(dāng)
t
2
>-
2
5
,即t>-
4
5
時,f(a)min=f(
t
2
)=
5
16
t2+
t
2
+1
;
當(dāng)
t
2
≤-
2
5
t
2
+2
,即-
24
5
≤t≤-
4
5
時,f(a)min=f(-
2
5
)=
4
5

當(dāng)
t
2
+2<-
2
5
,即t<-
24
5
f(a)min=f(
t
2
+2)=
5
4
(
t
2
+2)2+(
t
2
+2)+1=
15
16
t2+3t+8

所以線段DO長的最小值為:L(t)=
1
4
5t2+8t+16
,t>-
4
5
2
5
5
,-
24
5
≤t≤-
4
5
1
4
5t2+48t+128
,t<-
24
5
點(diǎn)評:本題給出直線與圓相切,求切線的方程并求線段長的最小值.著重考查了圓的方程、直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)若MP=
5
,求直線PT的方程;
(2)經(jīng)過P,M,T三點(diǎn)的圓的圓心是D,求線段DO長的最小值L.

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2
,4)
,點(diǎn)B(
10
,2
5
)

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(2)已知圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓C有相同的焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.

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4
2
3
,求直線MQ的方程.

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(Ⅰ)當(dāng)P的橫坐標(biāo)為
165
時,求∠APB的大。
(Ⅱ)求證:經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N必過定點(diǎn),并求出所以定點(diǎn)的坐標(biāo).
(Ⅲ)求線段AB長度的最小值.

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