已知圓M:x2+(y-4)2=4,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓的切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.
(Ⅰ)當(dāng)P的橫坐標(biāo)為
165
時(shí),求∠APB的大;
(Ⅱ)求證:經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N必過定點(diǎn),并求出所以定點(diǎn)的坐標(biāo).
(Ⅲ)求線段AB長(zhǎng)度的最小值.
分析:(Ⅰ)由題可知,圓M的半徑r=2,P(
16
5
,
8
5
)
,∠MAP=90°,根據(jù)MP=2r,可得∠MPA=30°,從而可求∠APB的大小;
(Ⅱ)設(shè)P的坐標(biāo),求出經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓的方程即可得到圓過定點(diǎn);
(Ⅲ)將圓N與圓M方程相減,可得圓M方程與圓N相交弦所在直線m方程,求出點(diǎn)M到直線m的距離,即可得到相交弦長(zhǎng),利用配方法,可求AB的最小值
11
解答:(Ⅰ)解:由題可知,圓M的半徑r=2,P(
16
5
,
8
5
)
,
因?yàn)镻A是圓M的一條切線,所以∠MAP=90°
又因MP=
(0-
16
5
)
2
+(4-
8
5
)
2
=4
=2r,
又∠MPA=30°,∠APB=60°;           …(4分)
(Ⅱ)證明:設(shè)P(2b,b),因?yàn)椤螹AP=90°,所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑,其方程為:(x-b)2+(y-
b+4
2
)2=
4b2+(b-4)2
4
,即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0
2x+y-4=0
x2+y2-4y=0
,…(7分)
解得
x=0
y=4
x=
8
5
y=
4
5
,所以圓過定點(diǎn)(0,4),(
8
5
,
4
5
)
   …(9分)
(Ⅲ)解:因圓N方程為(x-b)2+(y-
b+4
2
)2=
4b2+(b-4)2
4
即x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0         …①
圓M:x2+(y-4)2=4即x2+y2-8y+12=0     …②
②-①得圓M方程與圓N相交弦所在直線m方程為2bx+(b-4)y+12-4b=0…(11分)
點(diǎn)M到直線m的距離d=
4
5b2-8b+16
     …(13分)
相交弦長(zhǎng)即AB=2
4-d2
=4
1-
4
5b2-8b+16
=4
1-
4
5(b-
4
5
)
2
+
64
5
 …(15分)
當(dāng)b=
4
5
時(shí),AB有最小值
11
             …(17分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的綜合,考查圓過定點(diǎn),考查圓的弦長(zhǎng)問題,考查兩圓位置關(guān)系,確定圓的方程是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M:x2+(y-2)2=1,定點(diǎn)A(4,2)在直線x-2y=0上,點(diǎn)P在線段OA上,過P點(diǎn)作圓M的切線PT,切點(diǎn)為T.
(1)若MP=
5
,求直線PT的方程;
(2)經(jīng)過P,M,T三點(diǎn)的圓的圓心是D,求線段DO長(zhǎng)的最小值L.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(3
2
,4)
,點(diǎn)B(
10
,2
5
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓C有相同的焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓M相切,求雙曲線G的方程.

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已知圓M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QA、QB分別切圓M于A,B兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0),求切線QA、QB的方程;
(2)求四邊形QAMB的面積的最小值;
(3)若|AB|=
4
2
3
,求直線MQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M:x2+(y-2)2=1,設(shè)點(diǎn)B,C是直線l:x-2y=0上的兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別是t,t+4(t∈R),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a且點(diǎn)P在線段BC上,過P點(diǎn)作圓M的切線PA,切點(diǎn)為A
(1)若t=0,MP=
5
,求直線PA的方程;
(2)經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓的圓心是D,
①將DO2表示成a的函數(shù)f(a),并寫出定義域.
②求線段DO長(zhǎng)的最小值.

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