Question

正實數(shù)數(shù)列{a_n}中,a₁=1,a₂=5,且{}成等差數(shù)列.
(1)證明:數(shù)列{a_n}中有無窮多項為無理數(shù);
(2)當(dāng)n為何值時,a_n為整數(shù)?并求出使a_n<200的所有整數(shù)項的和.

Answer 1

（1）見解析  （2）當(dāng)n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N^*)時,a_n為整數(shù)，6733

解析(1)證明:由已知有:=1+24(n-1),
從而a_n=.
取n-1=24^2k-1,則a_n=(k∈N^*).
用反證法證明這些a_n都是無理數(shù).
假設(shè)a_n=為有理數(shù),則a_n必為正整數(shù),
且a_n>24^k,故a_n-24^k≥1,a_n+24^k>1,與(a_n-24^k)(a_n+24^k)=1矛盾,
所以a_n=(k∈N^*)都是無理數(shù),
即數(shù)列{a_n}中有無窮多項為無理數(shù).
(2)解:要使a_n為整數(shù),由(a_n-1)(a_n+1)=24(n-1)可知:a_n-1,a_n+1同為偶數(shù),且其中一個必為3的倍數(shù),
所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m.
當(dāng)a_n=6m+1時,有=36m²+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).
又m(3m+1)必為偶數(shù),
所以a_n=6m+1(m∈N)滿足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N)時,a_n為整數(shù);
同理a_n=6m-1(m∈N^*)時,有=36m²-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N^*)也滿足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N^*)時,a_n為整數(shù);
顯然a_n=6m-1(m∈N^*)和a_n=6m+1(m∈N)是數(shù)列中的不同項,
所以當(dāng)n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N^*)時,a_n為整數(shù).
由a_n=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,
由a_n=6m-1<200(m∈N^*)有1≤m≤33.
設(shè)a_n中滿足a_n<200的所有整數(shù)項的和為S,
則S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)= ×34+×33=6733.