Question

【題目】對于函數(shù)、、，如果存在實數(shù)使得，那么稱為、的生成函數(shù)．

(1) 下面給出兩組函數(shù)， 是否分別為、的生成函數(shù)？并說明理由；

第一組： ， ，

第二組： ， ， ；

(2) 設(shè)， ， ，生成函數(shù)．若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

(3) 設(shè)， ，取，生成函數(shù)圖像的最低點坐標(biāo)為．若對于任意正實數(shù)，且，試問是否存在最大的常數(shù)，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) (3) 為289

【解析】試題分析：（1）由條件利用生成函數(shù)的定義，判斷生成函數(shù)是否分別為是、的生成函數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）有解等價于在上有解，只需小于函數(shù)在的最大值即可；（3）先求出函數(shù)的最小值為289，只需 即可.

試題解析：(1)第一組： 是、的生成函數(shù)，因為存在使

第二組： 不是、的生成函數(shù)，因為若存在使得，則有

故，而此方程無解，所以不是、的生成函數(shù) .

(2) 依題意，有在上有解

化簡得： 即在上有解

函數(shù)在的最大值為

故實數(shù)的取值范圍為

(3) 存在最大的常數(shù)為289

依題意， ，由當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立得：

，解得： ，故

正數(shù)，滿足/span>，故當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立

函數(shù)的最小值為289，故最大的常數(shù)為289．

【方法點晴】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算、二次函數(shù)的性質(zhì)以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ① 求得 的最大值.