Question

已知平面上定點O，A，B，向量

a

=

OA

，

b

=

OB

，且|

a

|=2，|

b

|=1，|

a

+

b

|=

7

，點C是平面上的動點，記

c

=

OC

，若（

a

-2

c

）•（

b

-

c

）=0，給出以下命題：
①|(zhì)

a

-

b

|=

3

；
②點C的軌跡是一個圓；
③|

AC

|的最大值為

7+1

2

，最小值為

7-1

2

；
④|

BC

|的最大值為

3 +1

2

，最小值為

3 -1

2

．
其中正確的有

 

（填上你認為正確的所有命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：根據(jù)向量的數(shù)量積及模的性質(zhì)，求出即

a

•

b

，和夾角θ=60°，再運用模的平方等于向量的平方，即可判斷①，取OA的中點為A₁，推出

CA1

⊥

CB

，從而得到C的軌跡為圓，再由點A，B與圓的位置關(guān)系，求出AC，BC的最值，從而判斷②③④．

解答： 解：∵|

a

|=2，|

b

|=1，|

a

+

b

|=

7

，
∴|

a

+

b

|²=|

a

|²+|

b

|²+2

a

•

b

=4+1+2

a

•

b

=7，
即

a

•

b

=1=2×1×cosθ，θ=60°，
①|(zhì)

a

-

b

|=

( a - b )2

=

4+1-2×1

=

3

，故①正確；
②若（

a

-2

c

）•（

b

-

c

）=0，取OA的中點為A₁，
則（

1

2

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，即

CA1

⊥

CB

，
故點C的軌跡為以A₁B為直徑的圓，即②正確；
③由②知C在以

1

2

為半徑，A₁B的中點為圓心的圓上運動，
則|

AC

|的最大為

1+ 1 4 +2×1× 1 2 × 1 2

+

1

2

=

7 +1

2

，
最小為

7 -1

2

，故③正確；
④|

BC

|的最大值為1，最小值為0，故④錯．
故答案為：①②③．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義及運用，求模，求夾角，同時考查余弦定理和點與圓的位置關(guān)系，屬于綜合題．