Question

已知函數(shù)
（1）求證：函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線橫過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若f（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無窮多個(gè)．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/206469.png' />，所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線的斜率為，
所以f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為，
整理得，所以切線恒過定點(diǎn)．
（2）令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/56069.png' />（*）
令p'（x）=0，得極值點(diǎn)x₁=1，，
①當(dāng)時(shí)，有x₂＞x₁=1，即時(shí)，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此時(shí)p（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當(dāng)a≥1時(shí)，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在區(qū)間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當(dāng)時(shí)，有2a-1≤0，此時(shí)在區(qū)間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
所以．
綜上可知a的范圍是．
（3）當(dāng)時(shí)，
記．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/206476.png' />，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以，設(shè)，則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區(qū)間（1，+∞）上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無窮多個(gè)．
分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線的斜率為，從而寫出切線方程得出切線恒過定點(diǎn)；
（2）先令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
利用導(dǎo)數(shù)求出p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，從而得出：要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此解得a的范圍即可．
（3）當(dāng)時(shí)，．
記．利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，得出y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，最后得到滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數(shù)g（x）有無窮多個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系等，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．