【題目】已知?jiǎng)又本(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)M在x軸上方.
(1)若線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q,若|FQ|=8,求直線(xiàn)l的斜率;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,0),若點(diǎn)M恒在以FP為直徑的圓外,求x0的取值范圍.
【答案】(1);(2)x0∈[0,1)∪(1,9).
【解析】
(1)由題意可得直線(xiàn)l的斜率存在且不為0,設(shè)l的方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立,求出兩根之和及兩根之積,進(jìn)而可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得MN的中垂線(xiàn)方程,令y=0可得Q的坐標(biāo),進(jìn)而求出|QF|的值,由題意可得直線(xiàn)l的斜率;
(2)由題意可得∠FMP為銳角,等價(jià)于0,求出的表達(dá)式,換元等價(jià)于h(t)=t2+(3﹣x0)4+x0,t>0恒成立,分兩種情況求出x0 取值范圍.
(1)由題意可得直線(xiàn)l的斜率存在且不為0,設(shè)直線(xiàn)l的方程為:x=ty+1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),線(xiàn)段MN的最大E(x0,y0),
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程可得:,
整理可得y2﹣4ty﹣4=0,
所以y1+y2=4t,y1y2=﹣4,
所以y0=2t,x0=ty0+1=2t2+1,即E(2t2+1,2t),
故線(xiàn)段MN的中垂線(xiàn)方程為:y﹣2t=﹣t(x﹣2t2﹣1),
令y=0,則Q(2t2+3,0),
所以|FQ|=|22+3﹣1|=8,
解得t,
所以直線(xiàn)l的斜率k;
(2)點(diǎn)M恒在以FP為直徑的圓外,則∠FMP為銳角,等價(jià)于0,
設(shè)M(,y1),F(1,0),P(x0,0),
則(x0,﹣y1),(1,﹣y1),
故(x0)(1)+y12(1)x0>0恒成立,
令t,t>0,原式等價(jià)于t2+3t+(1﹣t)x0>0對(duì)任意t>0恒成立,
即t2+(3﹣x0)4+x0>0對(duì)任意t>0恒成立,
令h(t)=t2+(3﹣x0)4+x0,t>0,
①△=(3﹣x0)2﹣4x0<0,即1<x0<9,
②,解得0≤x0≤1,又因?yàn)?/span>x0≠1,故x0∈[0,1),
綜上所述x0∈[0,1)∪(1,9).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面,已知,,,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn).
(1)求證:平面ABC;
(2)在棱CA上是否存在一點(diǎn)M,使得EM與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能:禮樂(lè)射御書(shū)數(shù),某校國(guó)學(xué)社團(tuán)周末開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),每天連排六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“禮”和“數(shù)”不能相鄰,“射”和“樂(lè)”必須相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有( )
A.24種B.72種C.96種D.144種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中,正確命題的個(gè)數(shù)有( )
①,
②命題“,”的否定是“,”
③“若,則,中至少有一個(gè)不小于2”的逆命題是真命題
④復(fù)數(shù),則的充分不必要條件是
A.1B.2C.3D.4
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【題目】在△ABC中,∠C=90°,AB=2,,D為AC上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),將△BCD沿直線(xiàn)BD折起,使點(diǎn)C在平面ABD上的射影O在線(xiàn)段AB上,則線(xiàn)段OB的取值范圍是( )
A.(,1)B.(,)C.(,1)D.(0,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量,是平面內(nèi)的一組基向量,為內(nèi)的定點(diǎn),對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn),當(dāng)時(shí),則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)的廣義坐標(biāo),若點(diǎn)、的廣義坐標(biāo)分別為、,對(duì)于下列命題:
① 線(xiàn)段、的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為;
② A、兩點(diǎn)間的距離為;
③ 向量平行于向量的充要條件是;
④ 向量垂直于向量的充要條件是.
其中的真命題是________(請(qǐng)寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中醫(yī)藥,是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱(chēng),是反映中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí),具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系,是中華民族的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn),某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量(單位:克)與藥物功效(單位:藥物單位)之間具有關(guān)系.檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的5個(gè)樣本,得到成分甲的平均值為4克,標(biāo)準(zhǔn)差為克,則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為( )
A.22藥物單位B.20藥物單位C.12藥物單位D.10藥物單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面平面,,.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)為的中點(diǎn),問(wèn)邊上是否存在一點(diǎn),使平面,并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù),的值;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,求證:.
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