精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直,BB1=BC,∠B1BC=60°,AB=AC,M是B1C1的中點,
(1)求證:AB1∥平面A1CM;
(2)若AB1與平面BB1C1C所成的角為450,求二面角B-AC-B1的余弦值.
分析:(1)先連接AC1,交A1C于N,連接MN,根據(jù)中位線定理得到MN∥AB1,再由線面平行的判定定理可證AB1∥平面A1CM,得證.
(2)先作BC的中點O,連接AO、B1O,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知AO⊥面BB1C1C,進而知∠AB1O是AB1與平面BB1C1C所成的角,再由BB1=BC,∠B1BC=60°可得△B1BC是正三角形且B1O⊥BC,然后以O(shè)為原點,分別以O(shè)B、OB1、OA為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系,假設(shè)OA=a,則可得A、B1C、O的坐標,進而可表示出
AC
、
AO
、
AB1
的坐標,因為OB1⊥平面ABC,得到
OB1
是平面ABC的一個法向量,然后表示出平面AB1C的法向量,可得到<
n1
n2
>=arccos
5
5
,即二面角B-AC-B1的大小是 arccos
5
5
解答:證明:(1)如圖,連接AC1,交A1C于N,連接MN.
∵M是中點,N是AC1的中點,
∴MN∥AB1
∵MN?平面A1CM,
∴AB1∥平面A1CM.
(II)作BC的中點O,連接AO、B1O.
∵AB=AC,
∴AO⊥BC.精英家教網(wǎng)
∵側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直,
∴AO⊥面BB1C1C,
∴∠AB1O是AB1與平面BB1C1C所成的角,即∠AB1O=45°,從而AO=B1O.
又∵BB1=BC,∠B1BC=60°,
∴△B1BC是正三角形,所以B1O⊥BC.
以O(shè)為原點,分別以O(shè)B、OB1、OA為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.
設(shè)OA=a,則A(0,0,a),B1(0,a,0),C( -
3
3
a
,0,0),O(0,0,0),
AC
=(-
3
3
a,0,-a)
AO
=(0,0,-a)
,
AB1
=(0,a,-a)

∵OB1⊥平面ABC,故
OB1
是平面ABC的一個法向量,設(shè)為
n1

n1
=
OB1
=(0,a,0)
,
設(shè)平面AB1C的法向量為
n2
=(x2,y2,z2),
AC
n2
=0且
AB1
n2
=0得
-
3
3
x2-z2=0
y2-z2=0

令y2=a,得
n2
=( -
3
a,a,a).
∴cos<
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
1
5
=
5
5
,
∴<
n1
n2
>=arccos
5
5

即二面角B-AC-B1的大小是 arccos
5
5
點評:本題主要考查線面平行的判定定理和用向量的思想解決立體幾何中的平面夾角問題.考查考生的知識的綜合運用能力和計算能力,用向量的思想解決二面角問題,是這幾年高考的熱點問題,要強化復(fù)習.
練習冊系列答案
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9
3
9
3

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π3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點D為AC的中點,A1D⊥平面ABC,A1B⊥ACl
(I)求證:AC1⊥AlC; 
(Ⅱ)求二面角A-A1B-C的余弦值.

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