Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B1C₁的側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直，BB₁=BC，∠B₁BC=60°，AB=AC，M是B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面A₁CM；
（Ⅱ）若AB₁與平面BB₁C₁C所成的角為45°，求二面角B-AC-B₁的大小．

Answer 1

分析：（I）先連接AC₁，交A₁C于N，連接MN，根據(jù)中位線定理得到MN∥AB₁，再由線面平行的判定定理可證AB₁∥平面A₁CM，得證．
（II）先作BC的中點(diǎn)O，連接AO、B₁O，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知AO⊥面BB₁C₁C，進(jìn)而知∠AB₁O是AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，再由BB₁=BC，∠B₁BC=60°可得△B₁BC是正三角形且B₁O⊥BC，然后以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OB₁、OA為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)OA=a，則可得A、B₁C、O的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出

AC

、

AO

、

AB1

的坐標(biāo)，因?yàn)镺B₁⊥平面ABC，得到

OB1

是平面ABC的一個(gè)法向量，然后表示出平面AB₁C的法向量，可得到＜n₁，n₂＞=arccos

5

5

，即二面角B-AC-B₁的大小是arccos

5

5

．

解答：解：（I）證明：如圖，連接AC₁，交A₁C于N，連接MN．
∵M(jìn)是中點(diǎn)，N是AC₁的中點(diǎn)，
∴MN∥AB₁．
∵M(jìn)N?平面A₁CM，
∴AB₁∥平面A₁CM．
（II）作BC的中點(diǎn)O，連接AO、B₁O．
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直，
∴AO⊥面BB₁C₁C，
∴∠AB₁O是AB₁與平面BB₁C₁C所成的角，即∠AB₁O=45°，從而AO=B₁O．
又∵BB₁=BC，∠B₁BC=60°，
∴△B₁BC是正三角形，所以B₁O⊥BC．
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OB₁、OA為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)OA=a，則A（0，0，a），B₁（0，a，0），C（-

3

3

a，0，0），O（0，0，0），
∴

AC

=(-

3

3

a，0，-a)，

AO

=(0，0，-a)，

AB1

=(0，a，-a)．
∵OB₁⊥平面ABC，故

OB1

是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)為n₁，
則n₁=

OB1

=(0，a，0)，
設(shè)平面AB₁C的法向量為n₂=（x₂，y₂，z₂），
由

AC

•n₂=0且

AB1

•n₂=0得

- 3 3 x2-z2=0 y2-z2=0

令y₂=a，得n₂=（-

3

a，a，a）．
∴cos＜n₁，n₂＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

1

1× 5

=

5

5

，
∴＜n₁，n₂＞=arccos

5

5

．
即二面角B-AC-B₁的大小是arccos

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定定理和用向量的思想解決立體幾何中的平面夾角問題．考查考生的知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力，用向量的思想解決二面角問題，是這幾年高考的熱點(diǎn)問題，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．