Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1） 當(dāng)時，，求導(dǎo)，由求出切線斜率及點，即可求出切線方程；（2）由在定義域區(qū)間上恒成立得，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可求出的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，由在區(qū)間上，函數(shù)至少存在一點使，即由在區(qū)間上，求出的范圍即可.

試題解析：已知函數(shù).

（1），，

，， 故切線方程為：.

（2），由在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以在上恒成立，∴即，對恒成立，設(shè)，，

易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，

∴，即.

（3）設(shè)函數(shù)，，

則原問題在上至少存在一點，使得

，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，，舍；

當(dāng)時，，

∵，∴，，，則，舍；當(dāng)時，，

則在上單調(diào)遞增，，整理得，

綜上，.