Question

【題目】已知函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；

若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明的定義法，取值，做差，若， ，判符號(hào)；（2）方法一，將問題等價(jià)于 恒成立，轉(zhuǎn)化為軸動(dòng)區(qū)間定的問題；方法二，變量分離，轉(zhuǎn)化為 恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.

（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，證明如下：

對(duì)任意的，，若，

，

由，故有：，，

因此：，，

故有在上單調(diào)遞增；

（2）方法一：不等式在上恒成立

，

取，對(duì)稱軸

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

∴在上單調(diào)遞增， ，

故滿足題意，

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

又在上恒成立，

故

解得：，

故

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

方法二：不等式在上恒成立

。

取

由結(jié)論：定義在上的函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.

故 。

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最小值.

故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.