Question

【題目】已知二次函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3.

(1)若函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；

(2)是否存在常數(shù)t(t≥0)，當(dāng)x∈[t,10]時，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長度為12－t(視區(qū)間[a，b]的長度為b－a)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由二次函數(shù)的單調(diào)性易得 ，解關(guān)于的不等式組可得．
（2）分，最大值是最大值是三種情況進(jìn)行討論，對于每一種情況，由區(qū)間長度是求出12-t的值，驗(yàn)證范圍后即可得到答案．

(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3的對稱軸是x＝8，∴f(x)在區(qū)間[－1,1]上是減函數(shù)．

∵函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，則必有即∴－20≤q≤12.

(2)∵0≤t<10，f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù)，且對稱軸是x＝8.

①當(dāng)0≤t≤6時，在區(qū)間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，∴t＝；

②當(dāng)6<t≤8時，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，

∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；

③當(dāng)8<t<10時，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，

∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，

∴t＝9.

綜上可知，存在常數(shù)t＝，8,9滿足條件.