如圖,長方體中,,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積;
(2)證明: ; 
(3)求二面角的正切值.

(1)1;(2)詳見解析;(3)

解析試題分析:(1)求四面體的體積,當(dāng)高不好確定時(shí)候,可考慮等體積轉(zhuǎn)化,該題中,高,可求體積;(2)證明直線和直線垂直,可先證明直線和平面垂直,由,從而,所以,(3) 求二面角的平面角,可以利用幾何法,先找到二面角的平面角,然后借助平面圖形去計(jì)算,∵,所以,進(jìn)而可證,就是的平面角,二面角也可以利用空間向量法,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,計(jì)算兩個(gè)半平面的法向量,進(jìn)而求法向量的夾角,然后得二面角的余弦值.
試題解析:(1)解:在三棱錐D1-DCE中,D1D⊥平面DCE,D1D=1
在△DCE中,,
CD=2,CD2=CE2+DE2  ∴CE⊥DE.

∴三棱錐D1-DCE的體積. =                    4分
(2)證明:連結(jié)AD1,由題可知:四邊形ADD1A1是正方形
∴A1D⊥AD1 又∵AE⊥平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1
∴AB⊥AD1 又∵AB平面AD1E,AD1平面A D1E  ABAD1=A
∴A1D⊥平面AD1E 又∵D1E平面AD1E
∴A1D⊥D1E                                               8分
(3)根據(jù)題意可得:D1D⊥平面ABCD
又因?yàn)镃E平面ABCD,所以D1D⊥CE。
又由(1)中知,DE⊥CE,D1D平面D1DE,DE平面D1DE,D1DDE=D,
∴CE⊥平面D1DE,又∵D1E平面D1DE ∴CE⊥D1E.
∴∠D1ED即為二面角D1―EC―D的一個(gè)平面角.
在Rt△D1DE中,∠D1DE=90°,D1D="1," DE=
 
∴二面角D1―ED―D的正切值是                         12分
考點(diǎn):1、幾何體的體積;2、直線和直線垂直的判定;3、二面角的求法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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