Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ．
（1）若滿足條件的△ABC有且只有一個，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)△ABC的周長取最大值時，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ，

∴2 +sinA= ，即 2 +sinA= ，∴cosA﹣sinA= ，

平方可得sin2A= ，∴cosA+sinA= = ，

求得cosA= ，sinA= ∈（ ， ），結(jié)合滿足條件的△ABC有且只有一個，∴A∈（ ， ）．

∴由正弦定理可得 a=bsinA，即2= b，即 b= ；或 a≥b，即0＜b≤2，綜上可得，b∈（0，2]∪{ }．

（2）解：由于△ABC的周長為a+b+c，

由余弦定理可得22=b2+c2﹣2bc =（b+c）2﹣ bc≥（b+c）2﹣ = （b+c）2，

∴b+c≤ =2 ，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取等號，此時，三角形的周長為 2+b+c最大為2+2 ，

故此時b=

【解析】（1）由條件利用三角恒等變換求得cosA 和sinA 的值，結(jié)合滿足條件的△ABC有且只有一個可得a=bsinA 或 a≥b，由此求得b的范圍．（2）△ABC的周長為a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周長2+b+c最大值為2+2 ，此時，b= =c．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．