Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N₊），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并由此推測出{a_n}的通項(xiàng)公式（不要求證明）；
（2）設(shè)b_n=11-a_n，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N₊），又a₅=11．分別取n=4，3，2，1即可得出；
（2）由（1）可得：b_n=11-a_n=10-2n．由b_n≥0，解得n≤5，可得|bn|=

10-5n，n≤5 5n-10，n≥6

．令T_n=b₁+b₂+…+b_n=9n-n²．
可得當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=T_n．當(dāng)n≥6時(shí)，S_n=T₅-b₆-b₇-…-b_n=2T₅-T_n即可得出．

解答： 解：（1）∵滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N₊），又a₅=11．
∴取n=4可得11=

a

2 4

-8a4+2，
化為（a₄-9）（a₄+1）=0，
又a₄＞0，
∴a₄=9，同理可得a₃=7，a₂=5，a₁=3．
猜想：a_n=2n+1．
（2）由（1）可得：b_n=11-a_n=11-（2n+1）=10-2n．
由b_n≥0，解得n≤5，
∴|bn|=

10-5n，n≤5 5n-10，n≥6

．
令T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

n(8+10-2n)

2

=n（9-n）
=9n-n²．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=T_n=9n-n²．
當(dāng)n≥6時(shí)，S_n=T₅-b₆-b₇-…-b_n
=2T₅-T_n
=40-（9n-n²）
=n²-9n+40．
∴Sn=

9n-n2 n2-9n+40

n≤5 n＞5

，且n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值數(shù)列的求和問題，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．