Question

對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823122256508192.gif" style="vertical-align:middle;" />(1≤a≤3).設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(),用質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響.

Answer 1

(Ⅰ)兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少.
（II）時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為,   最少總用水量是.
當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷).這說(shuō)明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.

(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少.
（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得
，（*）
于是+
當(dāng)為定值時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)

將代入（*）式得
故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為,   最少總用水量是.
當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷).這說(shuō)明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.