Question

已知定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）
（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）≤4x對(duì)（1，+∞）上的任意x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)，
則f（2t-3）＞f（4-t）?

2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1

，解出即可；
（2）由于f（x）≤4x對(duì)（1，+∞）上的任意x都成立，就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的最小值大于等于

1

a

的問(wèn)題，可求a的取值范圍；
（3）先將函數(shù)化簡(jiǎn)，再對(duì)a進(jìn)行討論，從而利于基本不等式研究函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．

解答：解：（1）由于定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）滿足f（2t-3）＞f（4-t），
則

2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1

解得t∈(

7

3

，3)
（2）由f（x）≤4x得

1

a

≤4x+

1

x-1

，
∴

1

a

≤4(x-1)+

1

x-1

+4∵4(x-1)+

1

x-1

≥4(x=

3

2

時(shí)取等號(hào))
∴

1

a

≤8∵a＞0∴a≥

1

8

（3）由于f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴

1 a - 1 m-1 =m 1 a - 1 n-1 =n

∴m，n為方程

1

a

-

1

x-1

=x的兩個(gè)大于1的不等實(shí)根
令x-1=u（u＞0）
由y=

1

a

-1與y=u+

1

u

(u＞0)的圖象可得

1

a

-1＞2∴0＜a＜

1

3

點(diǎn)評(píng)：求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論