Question

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），滿足f(

1

2

)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)成立，對于數(shù)列{x_n}，有x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

．
（Ⅰ）求f（0），并證明f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）求數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列{f（x_n）}，證明：

n

2

-

5

6

＜

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f(xn+1)-1

＜

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定義判斷．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

易知0＜x_n＜1，由f（x_n）-f（-x_n）=f(

2xn

1+xn2

)及f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)得f（x_n+1+1）=2f（x_n）再由f（x₁）=1，得到f（x_n）是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求解．
（3）

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f( xn+1)-1

=

0

2-1

+

2-1

22-1

+…+

2n-1-1

2n+1-1

，由

2n-1

2n+1-1

＜

1

2

可證右面，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=y=0時(shí)，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上為為奇函數(shù)．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

易知0＜x_n＜1
∵f（x_n）-f（-x_n）=f(

2xn

1+xn2

)且f（x）且f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)
∴f（x_n+1）=2f（x_n），f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴f（x_n）=2^n-1
（3）

f(x1)-1

f(x2)-1

+

f(x2)-1

f(x3)-1

+…+

f(xn)-1

f( xn+1)-1

=

0

2-1

+

2-1

22-1

+…+

2n-1-1

2n+1-1

＜

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

點(diǎn)評：本題主要考查抽象抽象函數(shù)判斷奇偶性及求解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型研究等比數(shù)列求和解決恒成立問題．