【題目】設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則稱(chēng)函數(shù)超導(dǎo)函數(shù)”.

(1)請(qǐng)舉一個(gè)超導(dǎo)函數(shù)的例子,并加以證明;

(2)若函數(shù)都是超導(dǎo)函數(shù),且其中一個(gè)在R上單調(diào)遞增,另一個(gè)在R上單調(diào)遞減,求證:函數(shù)超導(dǎo)函數(shù)”;

(3)若函數(shù)超導(dǎo)函數(shù)且方程無(wú)實(shí)根,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),判斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析.

(2)見(jiàn)解析.

(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析:(1)根據(jù)定義舉任何常數(shù)都可以;(2),,即證-在R上成立即可;(3)構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?/span>超導(dǎo)函數(shù)”, 對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,而方程無(wú)實(shí)根,故恒成立,所以上單調(diào)遞減, 故方程等價(jià)于,即

設(shè) ,分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)定理即可得出結(jié)論.

詳解:

(1)舉例:函數(shù)超導(dǎo)函數(shù)”,

因?yàn)?/span>,,滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,故超導(dǎo)函數(shù)”.

注:答案不唯一,必須有證明過(guò)程才能給分,無(wú)證明過(guò)程的不給分.

(2),

因?yàn)楹瘮?shù)都是超導(dǎo)函數(shù),所以不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都恒成立,故,,

一個(gè)在上單調(diào)遞增,另一個(gè)在上單調(diào)遞減,故,

由①②得對(duì)任意實(shí)數(shù)都恒成立,所以函數(shù)超導(dǎo)函數(shù)”.

(3),所以方程可化為,

設(shè)函數(shù),,則原方程即為,

因?yàn)?/span>超導(dǎo)函數(shù)”, 對(duì)任意實(shí)數(shù)成立,

而方程無(wú)實(shí)根,故恒成立,所以上單調(diào)遞減,

故方程③等價(jià)于,即,

設(shè) ,,則上恒成立,

上單調(diào)遞增,

,且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷,

上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),從而原方程有且僅有唯一實(shí)數(shù)根.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an} 為等比數(shù)列,等差數(shù)列{bn} 的前n 項(xiàng)和為SnnN* ),且滿(mǎn)足:S13=208,S9S7=41,a1=b2a3=b3

(1)求數(shù)列{an},{bn} 的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)Tn=a1b1+a2b2++anbn nN* ),求Tn;

(3)設(shè),是否存在正整數(shù)m,使得cm·cm+1·cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,為參數(shù)),在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).

(Ⅰ)求曲線,的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn),在曲線上,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2016年時(shí)紅軍長(zhǎng)征勝利80周年,某市電視臺(tái)舉辦紀(jì)念紅軍長(zhǎng)征勝利80周年知識(shí)問(wèn)答,宣傳長(zhǎng)征精神.首先在甲、乙、丙、丁四個(gè)不同的公園進(jìn)行支持簽名活動(dòng),其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運(yùn)之星,每人獲得一個(gè)紀(jì)念品,其數(shù)據(jù)表格如下:

(Ⅰ)求此活動(dòng)中各公園幸運(yùn)之星的人數(shù);

(Ⅱ)從乙和丙公園的幸運(yùn)之星中任選兩人接受電視臺(tái)記者的采訪,求這兩人均來(lái)自乙公園的概率;

(Ⅲ)電視臺(tái)記者對(duì)乙公園的簽名人進(jìn)行了是否有興趣研究“紅軍長(zhǎng)征”歷史的問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下(單位:人):

據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為有興趣研究“紅軍長(zhǎng)征”歷史與性別有關(guān).

附臨界值表及公式: ,其中

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓的離心率為,過(guò)點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點(diǎn)P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.

①求直線的斜率②若,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了鞏固全國(guó)文明城市創(chuàng)建成果,今年吉安市開(kāi)展了拆除違章搭建鐵皮棚專(zhuān)項(xiàng)整治行為.為了了解市民對(duì)此項(xiàng)工作的“支持”與“反對(duì)”態(tài)度,隨機(jī)從存在違章搭建的戶(hù)主中抽取了男性、女性共名進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:

支持

反對(duì)

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認(rèn)為對(duì)此項(xiàng)工作的“支持”與“反對(duì)”態(tài)度與“性別”有關(guān);

(2)現(xiàn)從參與調(diào)查的女戶(hù)主中按分層抽樣的方法抽取人進(jìn)行調(diào)查,分別求出所抽取的人中持“支持”和“反對(duì)”態(tài)度的人數(shù);

(3)現(xiàn)從(2)中所抽取的人中,再隨機(jī)抽取人贈(zèng)送小品,求恰好抽到人持“支持”態(tài)度的概率?

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中t∈R.

(1)當(dāng)t=1時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)當(dāng)t≠0時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)分別是橢圓C:的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)軸的垂線,交橢圓的上半部分于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的垂線交直線于點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4),求橢圓的方程;

(2)試判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知曲線C1y=cos x,C2y=sin (2x+),則下面結(jié)論正確的是( )

A. C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2

B. C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2

C. C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2

D. C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2

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