Question

（2009•武昌區(qū)模擬）已知數(shù)列{a_n} 滿足：a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²a_n（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，試推斷是否存在常數(shù)A，B，C，使對(duì)一切n∈N⁺都有a_n=b_n+1-b_n成立？說(shuō)明你的理由；
（3）求證：a₁+a₂+…+a_n＜（n²-2n+2）•2ⁿ⁺²．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，從而可判斷{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列．利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得a_n；
（2）b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ．由a_n=b_n+1-b_n恒成立，得

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，解出可作出判斷；
（3）由（2）知bn=(n2-4n+6)•2n，及a_n=b_n+1-b_n，可求得a₁+a₂+…+a_n=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n+1-b_n）=b_n+1-b₁，結(jié)合不等式右邊式子進(jìn)行放縮可證明；

解答：解：（1）由已知an+1=2(

n+1

n

)2•an，得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，
則數(shù)列{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列．
又a₁=2，所以

an

n2

=2ⁿ，即an=2n•n2．
（2）∵b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ．
若a_n=b_n+1-b_n恒成立，則

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，
解得

A=1 B=-4 C=6

，
故存在常數(shù)A，B，C，滿足條件．
（3）由（2）知：bn=(n2-4n+6)•2n，a_n=b_n+1-b_n，
∴a₁+a₂+…+a_n=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n+1-b_n）=b_n+1-b₁
=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6＜（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹=（

n2

2

-n+

3

2

）•2ⁿ⁺²
=[（n2-2n+2)-

(n-1)2

2

-

(n-1)2

2

]•2ⁿ⁺²≤（n²-2n+2）•2ⁿ⁺²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列遞推式，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較高．