數(shù)列{an}的首項為a1=
5
6
,以a1,a2,a3,…,an-1,an為系數(shù)的二次方程an-1x2-anx+1=0(n≥2,且n∈N+)都有根α、β,且α、β滿足3α-αβ+3β=1.
(1)求證:{an-
1
2
}
是等比數(shù)列;           
(2)求{an}的通項公式;
(3)記Sn為{an}的前n項和,對一切n∈N+,不等式2Sn-n-2λ≥0恒成立,求λ的取值范圍.
分析:(1)由韋達(dá)定理,得α+β=
an
an-1
,且αβ=
1
an-1
(n≥2,且n∈N+). 代入3α-αβ+3β=1,整理構(gòu)造出數(shù)列{an-
1
2
}
再證是等比數(shù)列;  
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,先求數(shù)列{an-
1
2
}
的通項公式,再得出{an}的通項公式
(3)由(2)可求得Sn=a1+a2+…+an=
n
2
+(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
)
,不等式2Sn-n-2λ≥0恒成立,只需λ≤(Sn-
n
2
)min=S1-
1
2
解答:解:(1)由α、β是方程an-1x2-anx+1=0的兩根,得α+β=
an
an-1
,
αβ=
1
an-1
(n≥2,且n∈N+).又由3α-αβ+3β=1得3(α+β)-αβ=1,
3an
an-1
-
1
an-1
=1
,整理得3an-1=an-1(n≥2).
an-
1
2
=
1
3
(an-1-
1
2
)
(n≥2,且n∈N+).
{an-
1
2
}
是等比數(shù)列,且公比q=
1
3
.    
(2)∵a1=
5
6
,∴a1-
1
2
=
1
3
,則an-
1
2
=
1
3
×(
1
3
)n-1
,
an=
1
2
+(
1
3
)n
.    …(7分)
(3)∵Sn=a1+a2+…+an=
n
2
+(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
)

=
n
2
+
1
3
[1-(
1
3
)
n
]
1-
1
3
=
n
2
+
1
2
(1-
1
3n
)
,
Sn-
n
2
=
1
2
(1-
1
3n
)
.又顯然數(shù)列{Sn-
n
2
}是遞增數(shù)列,
∴要使對一切n∈N+,不等式2Sn-n-2λ≥0恒成立,
只需λ≤(Sn-
n
2
)min=S1-
1
2
=a1-
1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3
,
∴λ的取值范圍是(-∞,
1
3
]
點評:本題主要考查了利用遞推關(guān)系 an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
及構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式,分組數(shù)列的求和,不等式的恒成立問題的轉(zhuǎn)化求最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列an的首項為a(a>0),它的前n項的和是Sn
(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列,公差為d,d≠0,且數(shù)列
Sn
an
也是等差數(shù)列,①求d;②求證:∑i=1n
2Si 
a
n2+2n
2

(2)數(shù)列Sn是公比為q的等比數(shù)列,且q≠1,不等式Sn.≥kan對任意正整數(shù)n都成立,求k的值或k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,則a8=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:xy-2kx+k2=0與直線l:x-y+8=0有唯一公共點,而數(shù)列{an}的首項為a1=2k,且當(dāng)n≥2時點(an-1,an)恒在曲線C上,數(shù)列{bn}滿足關(guān)系bn=
1an-2

①求k的值;
②求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
③求數(shù)列{an}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項為1,{bn}為等比數(shù)列且bn=
an+1an
,若b3=4,b6=32,則a5=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*).若則b3=-2,b10=12,則a10=( 。
A、10B、3C、18D、21

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