已知曲線C:xy-2kx+k2=0與直線l:x-y+8=0有唯一公共點,而數(shù)列{an}的首項為a1=2k,且當n≥2時點(an-1,an)恒在曲線C上,數(shù)列{bn}滿足關(guān)系bn=
1an-2

①求k的值;
②求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
③求數(shù)列{an}的通項公式.
分析:①聯(lián)立曲線和直線方程,化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式等于0即可求得k的值;
②把k值代入曲線方程,由點(an-1,an)恒在曲線C上得出遞推式,由bn=
1
an-2
解得an=2+
1
bn

代入遞推式后整理即可證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
③由等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{bn}的通項公式,代入an=2+
1
bn
可求數(shù)列{an}的通項公式.
解答:①解:聯(lián)立
x-y+8=0
xy-2kx+k2=0
,得x2+(8-2k)x+k2=0
因為曲線C:xy-2kx+k2=0與直線l:x-y+8=0有唯一公共點,
所以方程x2+(8-2k)x+k2=0只有唯一解,
所以△=(8-2k)2-4k2=64-32k=0,所以k=2;
②因為k=2,所以曲線C變成xy-4x+4=0
當n≥2時點(an-1,an)恒在曲線C上,則
an-1an-4an-1+4=0,
bn=
1
an-2
,所以an=2+
1
bn

b1=
1
a1-2
=
1
2

所以(2+
1
bn-1
)(2+
1
bn
)-4(2+
1
bn-1
)+4=0

2
bn-1
+
2
bn
+
1
bn
1
bn-1
-
4
bn-1
=0

-
2
bn-1
+
2
bn
+
1
bn
1
bn-1
=0

整理得bn-bn-1=
1
2
(n≥2).
所以數(shù)列{bn}是首項為
1
2
,公差為
1
2
的等差數(shù)列.
③解:由數(shù)列{bn}是首項為
1
2
,公差為
1
2
的等差數(shù)列,
所以bn=
1
2
+
1
2
(n-1)=
n
2

an=2+
1
bn
=2+
1
n
2
=2+
2
n
點評:本題是圓錐曲線和數(shù)列的綜合題,考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了等差關(guān)系的確定,考查了學生綜合處理問題和解決問題的能力,是中高檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點列An(n=1,2,3,…)的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=
11
7

(1)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(2)求證:{
1
xn-2
+
1
3
}是等比數(shù)列;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1(n∈N,n≥1).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C:xy-4x+4=0,數(shù)列{an}的首項a1=4,且當n≥2時,點(an-1,an)恒在曲線C上,數(shù)列{bn}滿足bn=
12-an

(1)試判斷數(shù)列{bn}是否是等差數(shù)列?并說明理由;
(2)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列{cn}滿足anbn2cn=1,試比較數(shù)列{cn}的前n項和Sn與2的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1).
(1)求xn與xn+1之間的關(guān)系式;
(2)若x1=
11
7
,求證:數(shù)列
1
xn-2
+
1
3
是等比數(shù)列;
(3)求證:(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…(-1)nxn<1(n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•濱州一模)已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點列{An}的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=
11
7

(I)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(II)令bn=
1
xn-2
+
1
3
,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(III)若cn=3n-λbn(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.

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