Question

數列a_n的首項為a（a＞0），它的前n項的和是S_n．
（1）若數列a_n是等差數列，公差為d，d≠0，且數列

Sn

an

也是等差數列，①求d；②求證：∑_i=1ⁿ

2Si  a

＜

n2+2n

2

．
（2）數列S_n是公比為q的等比數列，且q≠1，不等式S_n．≥ka_n對任意正整數n都成立，求k的值或k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①則由{

Sn

an

}是等差數列知

2(2a+d)

a+d

=1+

3a+3d

a+2d

，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）²，由此能求出d．
②由

2Si a

=

i(i+1)

＜

i+(i+1)

2

=

2i+1

2

，能導出

n

i=1

2Si a

＜

n

i=1

2i+1

2

=

n2+2n

2

．
（2）依題意S₁=a₁=a，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2（q-1），所以：a_n={

a， aqn-2(q-1)，

n=1 n≥2

，由此進行曲分類討論知q＜0時，k=

q

q-1

；0＜q＜1時，

q

q-1

≤k≤1；q＞1時，k≤1．

解答：解：（1）①則由{

Sn

an

}是等差數列知：

2(2a+d)

a+d

=1+

3a+3d

a+2d

，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）²，
又d≠0，所以d=a，（3分）
當d=a時，a_n=na，Sn=

n(n+1)

2

a，

Sn

an

=

n+1

2

，是等差數列，（4分）
②

2Si a

=

i(i+1)

＜

i+(i+1)

2

=

2i+1

2

，（6分）
所以

n

i=1

2Si a

＜

n

i=1

2i+1

2

=

n2+2n

2

，（8分）
（2）依題意S₁=a₁=a，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2（q-1），
所以：a_n={

a， aqn-2(q-1)，

n=1 n≥2

（10分）
當n=1時，S₁≥ka₁，由a＞0知，k≤1；（11分）
當n≥2時，S_n≥ka_n，即aq^n-1≥kaq^n-2（q-1），
①若q＞1，則k≤

q

q-1

，因為

q

q-1

=1+

1

q-1

＞1，所以此時k≤1；
②若0＜q＜1，則k≥

q

q-1

，因為

q

q-1

＜0＜1，所以此時

q

q-1

≤k≤1；
③若q＜0，n為奇數時，q^n-2＜0，同時q-1＜0，
不等式S_n≥ka_n的解是k≤

q

q-1

，n為偶數時，q^n-2＞0，同時q-1＜0，不等式S_n≥ka_n的解是k≥

q

q-1

，
要使S_n≥ka_n對任意大于1的正整數恒成立，只有k=

q

q-1

又

q

q-1

=1+

1

q-1

＜1適合要求，
綜上可得：q＜0時，k=

q

q-1

；0＜q＜1時，

q

q-1

≤k≤1；q＞1時，k≤1．（16分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，合理挖掘題設中的隱含條件，注意不等式的合理運用．