Question

【題目】已知多面體，，，均垂直于平面，，，，．

（1）證明：⊥平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）直線與平面所成的角的正弦值為.

【解析】

（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，要證平面，只需證與平面兩條相交直線垂直。根據(jù)已知條件可求與的長(zhǎng)度，然后跟據(jù)勾股定理可證.。同理可得.，進(jìn)而可得平面。（2）要求直線與平面所成的角的正弦值，應(yīng)先作角。由條件可得平面平面 。所以過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié). 可知是與平面所成的角.根據(jù)條件可求的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而可由余弦定理求得 ，然后可求。進(jìn)而求得，在中即可求得結(jié)果。

（1）由得，

所以.

故.

由， 得，

由得，

由，得，所以，故.

因此平面.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角.

由得，

所以，故.

因此，直線與平面所成的角的正弦值是.

方法二：

（1）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

因此

由得.

由得.

所以平面.

（2）設(shè)直線與平面所成的角為.

由（Ⅰ）可知

設(shè)平面的法向量.

由即可取.

所以.

因此，直線與平面所成的角的正弦值是.